checkpoint3: TAMP LLM章完成 + 可微接触/Saltation润色 + 无人机/控制理论复核修

TAMP 80_大模型任务规划 完成(2011,清理并发损坏桩)。润色: 可微接触40(导航§4.0/§4.10对齐+术语随机光滑统一,2133)、Saltation50(导航11层对齐,2015)。复核修: 无人机 large_scale→ICRA2021×7/Richter→ISRR2013×2; 控制理论 LQR回差伪项删/HOCBF表3.6→0。

Co-Authored-By: Claude Opus 4.8 (1M context) <noreply@anthropic.com>

Author: Michael-Jetson

01_数学/40_控制理论/50_LQR_LQG与Riccati方程.md

@@ -528,7 +528,7 @@ $$F(j\omega)^* R F(j\omega)\succeq R,\quad\forall\omega\in\mathbb R,$$
 即 $\|R^{1/2}F(j\omega)R^{-1/2}\|\ge1$。单输入时简化为 $|1+K(j\omega I-A)^{-1}B|\ge1$。
 
 **证明**：CARE 可改写为 $A_{cl}^\top P+PA_{cl}+Q+K^\top RK=0$，其中 $A_{cl}=A-BK$。将 Lyapunov 方程两边乘 $(j\omega I-A_{cl})^{-1}$ 和 $(-j\omega I-A_{cl}^\top)^{-1}$ 后求迹，利用 $F(j\omega)=I+K(j\omega I-A)^{-1}B$ 以及 $K=R^{-1}B^\top P$，经过代数操作（详见 Anderson-Moore Ch.11 或 Zhou-Doyle-Glover §14.4）得：
-$$F(j\omega)^*RF(j\omega)=R+B^\top[(−j\omega I−A^\top)^{−1}Q(j\omega I−A)^{−1}+P(j\omega I−A)^{−1}BB^\top(−j\omega I−A^\top)^{−1}P]B\succeq R.$$
+$$F(j\omega)^*RF(j\omega)=R+B^\top(−j\omega I−A^\top)^{−1}Q(j\omega I−A)^{−1}B\succeq R.$$
 
 **推论（单输入裕度）**：当 $m=1$（单输入），$R$ 为正标量 $r$，回差不等式化为 $|F(j\omega)|^2\ge1$，即 Nyquist 图上 $L(j\omega)=K(j\omega I-A)^{-1}B$ 永远不进入以 $-1$ 为圆心、半径为 1 的**单位圆**。这一几何条件立刻给出：
 - **增益裕度**：$L$ 可以乘以任何 $k\in[1/2,\infty)$ 而不穿过 $-1$，即 $\text{GM}\in[1/2,\infty)$（6 dB 下限、无上限）。

01_数学/40_控制理论/80_CLF_CBF与QP安全控制.md

@@ -701,7 +701,7 @@ $\dot\psi_1 = \dot x_2+2\dot x_1 = u+2x_2$
 | $(0, -1)$ | 位置在 0，向下 | $0$ | 必须开始减速 |
 | $(-0.5, -2)$ | 接近下限，快速下降 | $6$ | 紧急制动 |
 | $(5, 0)$ | 远离边界，静止 | $-24$ | 几乎不约束 |
-| $(-0.9, -0.1)$ | 非常接近边界，慢速 | $3.6$ | 中等制动 |
+| $(-0.9, -0.1)$ | 非常接近边界，慢速 | $0$ | 位置接近边界但速度小，恰处临界 |
 
 **约束集合的几何形状**：
 

01_数学/80_接触力学/40_可微接触仿真.md

@@ -62,34 +62,44 @@
 │     ├── Reset（跳变映射）：刚性冲击的速度投影公式
 │     └── 恢复系数分类：弹性 e=1 / 部分弹性 / 塑性 e=0
 │
-├── 第 3 层：Saltation 矩阵 ⭐⭐⭐（本章核心，§5.3）
-│     ├── 问题：扰动如何穿过切换面？
-│     ├── 三步推导：δt → pre-flow → reset+post-flow
+├── 第 3 层：穿越时刻灵敏度（§5.3）⭐⭐⭐（Saltation 推导第一步）
+│     ├── 问题：扰动什么时候穿过切换面？
+│     ├── 隐函数定理推 δt = -∇gᵀδx⁻ / ∇gᵀF⁻
+│     └── 横截性是 δt 良定义的地基
+│
+├── 第 4 层：Saltation 矩阵 ⭐⭐⭐（本章核心，§5.4）
+│     ├── 三步推导：pre-flow → reset → post-flow
 │     ├── Ξ = DΔ + (F⁺ - DΔ·F⁻)∇gᵀ / (∇gᵀF⁻ + ∂ₜg)
-│     └── 几何直觉：reset Jacobian + 时间错位补偿
+│     ├── 几何直觉：reset Jacobian + 时间错位补偿
+│     └── Ξ 即 Bouligand 导数（B-导数）
 │
-├── 第 4 层：线性化与稳定性（§5.4）⭐⭐⭐
-│     ├── 变分方程：光滑段 Φ̇=AΦ，跨 guard Φ⁺=ΞΦ⁻
+├── 第 5 层：变分方程与稳定性（§5.5）⭐⭐⭐
+│     ├── 混合变分方程：光滑段 Φ̇=AΦ，跨 guard Φ⁺=ΞΦ⁻
 │     ├── 单值矩阵 M = Φₙ Ξₙ ⋯ Ξ₁ Φ₀
-│     └── Floquet 乘子 → 周期步态稳定性
+│     ├── Floquet 乘子 → 周期步态稳定性
+│     └── 常秩降维定理 → 模板模型合法性
 │
-├── 第 5 层：横截性失效与 Zeno（§5.5）⭐⭐⭐
+├── 第 6 层：横截性失效与 Zeno（§5.6）⭐⭐⭐
 │     ├── Grazing：∇gᵀF⁻→0 ⇒ ‖Ξ‖→∞
-│     ├── Zeno：有限时间无穷次跳变
-│     └── 多接触 codim-2：Ξ₂Ξ₁ ≠ 联合推导
+│     ├── 多接触 codim-2：Ξ₂Ξ₁ ≠ 联合推导（B-导数）
+│     └── Zeno：有限时间无穷次跳变
 │
-├── 第 6 层：HZD 混合零动力学（§5.6）⭐⭐⭐
+├── 第 7 层：HZD 混合零动力学（§5.7）⭐⭐⭐
 │     ├── 虚拟约束 y=h(q)-h_d(θ(q))
 │     ├── 零动力学流形 Z={y=0, ẏ=0}
 │     ├── Impact invariance: Δ(S∩Z)⊂Z
 │     └── 标量 LTI 返回映射 → 解析稳定性
 │
-├── 第 7 层：Saltation 的工程应用（§5.7）⭐⭐⭐
+├── 第 8 层：Saltation 的工程应用（§5.8）⭐⭐⭐
 │     ├── Salted Kalman Filter: P⁺=ΞP⁻Ξᵀ+Q_Ξ
 │     ├── HiLQR-MPC: V_x←ΞᵀV_x, V_xx←ΞᵀV_xxΞ
 │     └── Impact-Invariant Tracking: ker(I-DΔ)
 │
-└── 第 8 层：桥接（§5.8）⭐⭐
+├── 第 9 层：数值实现与陷阱（§5.9）⭐⭐⭐
+│     ├── 事件驱动积分 + 根查找精确定位穿越
+│     └── 抖动 / grazing / Zeno / 协方差秩亏 / mode 误设
+│
+└── 第 10 层：桥接（§5.10）⭐⭐
       ├── ← 专题 3（李群）：Lie 群上的 reset 与 adjoint
       ├── ← 专题 4（CI 优化）：mode 已知 vs 求解器选
       ├── → 05 足式简化模型：Ξ 落到 SLIP/LIPM/Cassie
@@ -98,11 +108,11 @@
 
 **推荐阅读路径**：
 
-- **第一遍（建立框架，约 4 h）**：§5.0 → §5.1 → §5.2 → §5.3 前半（三步推导）。这条路径让你掌握"混合系统是什么 + $\Xi$ 怎么来的"，足以读懂大部分论文的记号。
-- **第二遍（稳定性理论，约 5 h）**：§5.4 → §5.6（HZD）。这两节是足式步态稳定性的数学核心，需要 Floquet 理论与 Poincaré 映射的配合。
-- **第三遍（工程落地，约 5 h）**：§5.5（失效边界）→ §5.7（三大应用）→ §5.8（桥接）。这条路径回答"理论在什么时候崩，以及怎么用在真机上"。
+- **第一遍（建立框架，约 4 h）**：§5.0 → §5.1 → §5.2 → §5.3 → §5.4（三步推导）。这条路径让你掌握"混合系统是什么 + $\Xi$ 怎么来的"，足以读懂大部分论文的记号。
+- **第二遍（稳定性理论，约 5 h）**：§5.5（变分方程与 Floquet）→ §5.7（HZD）。这两节是足式步态稳定性的数学核心，需要 Floquet 理论与 Poincaré 映射的配合。
+- **第三遍（工程落地，约 5 h）**：§5.6（失效边界）→ §5.8（三大应用）→ §5.9（数值实现）→ §5.10（桥接）。这条路径回答"理论在什么时候崩，以及怎么用在真机上"。
 
-**三条线索的关系**：本章可以看成三条线索交织——**（A）描述线**（§5.0-5.2，怎么写下一个混合系统）、**（B）灵敏度线**（§5.3-5.5，扰动怎么传播、何时失效）、**（C）应用线**（§5.6-5.8，稳定性证明与控制/估计落地）。三条线在 $\Xi$ 这个对象上汇合：描述线给出 $\Xi$ 所需的全部材料（$F^\pm,\Delta,g$），灵敏度线推导并分析 $\Xi$，应用线把 $\Xi$ 嵌入 Kalman/iLQR/Floquet。
+**三条线索的关系**：本章可以看成三条线索交织——**（A）描述线**（§5.0-5.2，怎么写下一个混合系统）、**（B）灵敏度线**（§5.3-5.6，扰动怎么传播、何时失效）、**（C）应用线**（§5.7-5.10，稳定性证明、控制/估计落地与数值实现）。三条线在 $\Xi$ 这个对象上汇合：描述线给出 $\Xi$ 所需的全部材料（$F^\pm,\Delta,g$），灵敏度线推导并分析 $\Xi$，应用线把 $\Xi$ 嵌入 Kalman/iLQR/Floquet。
 
 > **注意**：知识导航只展示**结构**，不展开具体内容。看不懂上面的某个符号是正常的——它们会在对应小节从动机讲起。
 
@@ -531,7 +541,7 @@ $$
 | $0<e<1$ | **部分弹性** | 部分能量损失 | 法向方向特征值 $<1$（收缩） |
 | $e=0$ | **完全塑性**（双足标准） | 最大能量损失，碰后不反弹 | 法向速度子空间**秩亏**（投影掉一维） |
 
-塑性情形（$e=0$）的秩亏是 Burden-Revzen-Sastry 2015 "常秩降维假设"的物理来源——每次塑性冲击把状态投影到低维子流形，反复冲击使周期轨邻域**有限时间**收缩到一个光滑低维子流形（定理 T5，§5.4 详述）。这就解释了为什么 SLIP/RHex 这类"模板模型（template）"能精确捕捉高维机器人（anchor）的周期行为——不是近似，而是冲击投影的数学必然。
+塑性情形（$e=0$）的秩亏是 Burden-Revzen-Sastry 2015 "常秩降维假设"的物理来源——每次塑性冲击把状态投影到低维子流形，反复冲击使周期轨邻域**有限时间**收缩到一个光滑低维子流形（定理 T5，§5.5 详述）。这就解释了为什么 SLIP/RHex 这类"模板模型（template）"能精确捕捉高维机器人（anchor）的周期行为——不是近似，而是冲击投影的数学必然。
 
 > **理论-工程桥接**：恢复系数 $e$ 的选择直接影响 reset 的辛性质，进而影响 $\Xi$ 的谱（特征值分布），最终决定步态稳定性。这不是抽象的——bouncing ball 的 $\Xi$ 谱半径恰好等于 $e$（练习 5.3.2 / 大纲 Q2）。工程上，足式机器人几乎总取 $e=0$（塑性），因为：(1) 真实脚-地接触高度耗散，弹跳极小；(2) 塑性冲击的秩亏带来的降维让稳定性分析可解析（HZD 的标量返回映射依赖这个）。**取 $e=0$ 不是为了简化，而是真实物理 + 数学便利的双重选择。**
 
@@ -543,7 +553,7 @@ $$
 \xi^+=\mathrm{Ad}_{g^{-1}\Delta(g)}\,\xi^- + (\text{冲击修正项})
 $$
 
-其中 $\xi$ 是体坐标系下的广义速度（旋量），$\mathrm{Ad}$ 是伴随算子。更隐蔽的陷阱来自**四元数双覆盖**：$\mathrm{Spin}(3)$ 上 $q$ 与 $-q$ 代表同一旋转，但 $D\Delta$ 在两个分支上相差符号；做灵敏度分析时若不固定一致的分支，$\Xi$ 的谱结构会错乱（§5.8 桥接与陷阱专栏会再强调）。这是专题 3 遗留给本专题的一个"接口陷阱"——现在只需记住："含旋转的 reset，$D\Delta$ 要走 adjoint，且小心四元数符号"，完整处理见专题 3 的 $SE(3)$ 灵敏度部分。
+其中 $\xi$ 是体坐标系下的广义速度（旋量），$\mathrm{Ad}$ 是伴随算子。更隐蔽的陷阱来自**四元数双覆盖**：$\mathrm{Spin}(3)$ 上 $q$ 与 $-q$ 代表同一旋转，但 $D\Delta$ 在两个分支上相差符号；做灵敏度分析时若不固定一致的分支，$\Xi$ 的谱结构会错乱（§5.9 故障排查与 §5.10 桥接会再强调）。这是专题 3 遗留给本专题的一个"接口陷阱"——现在只需记住："含旋转的 reset，$D\Delta$ 要走 adjoint，且小心四元数符号"，完整处理见专题 3 的 $SE(3)$ 灵敏度部分。
 
 ### ⚠️ 常见陷阱
 
@@ -623,7 +633,7 @@ $$
 
 $\delta t$ 公式的数学内核——隐函数定理保证"约束方程 $g=0$ 局部可解出时间"——是 19 世纪就成熟的分析工具。但把它系统地用到"扰动如何穿过切换面"这个问题上，要归功于 §5.0 提到的 Aizerman 与 Gantmakher（1958）。他们研究继电器控制系统时，第一次写下了切换面上扰动传播的跳跃矩阵（即 Saltation 矩阵），其推导内核正是本节的 $\delta t$ 加上一步速度对齐。
 
-苏联学派的这套工具长期沉睡在控制理论的角落，直到 21 世纪被机器人学界"重新发现"。Burden-Sastry-Koditschek-Revzen 2016（SIADS）用现代非光滑分析的语言（Bouligand 导数）重新解释了它；Kong-Payne-Zhu-Johnson 2024（Proc. IEEE）则把它写成一篇面向机器人学家的、以"三步几何推导"为主线的权威教程——本章 §5.3-5.4 的推导组织正是follow了 Kong 2024 的思路，只是展开得更细。一个有趣的历史细节：Saltation 这个词来自拉丁语 *saltatio*（跳跃、舞蹈），由 Filippov 学派引入，形象地刻画了扰动"跳过"切换面的动作。
+苏联学派的这套工具长期沉睡在控制理论的角落，直到 21 世纪被机器人学界"重新发现"。Burden-Sastry-Koditschek-Revzen 2016（SIADS）用现代非光滑分析的语言（Bouligand 导数）重新解释了它；Kong-Payne-Zhu-Johnson 2024（Proc. IEEE）则把它写成一篇面向机器人学家的、以"三步几何推导"为主线的权威教程——本章 §5.3-5.4 的推导组织正是沿用了 Kong 2024 的思路，只是展开得更细。一个有趣的历史细节：Saltation 这个词来自拉丁语 *saltatio*（跳跃、舞蹈），由 Filippov 学派引入，形象地刻画了扰动"跳过"切换面的动作。
 
 ### 理论：隐函数定理严格推导 $\delta t$（练习 5.2.3 完整解答）
 
@@ -1288,7 +1298,7 @@ $$
 
 四旋翼是全驱动的——4 个输入控制 4 个平坦输出（专题样板 D3）。但双足机器人在单支撑相是**欠驱动**的：脚与地面只是点/线接触，无法对地面施加任意力矩（踝关节力矩受限于不让脚翻转的 ZMP 约束）。这意味着质心的某些运动方向是"不可直接驱动"的——你不能像控制全驱动机械臂那样任意指定全部自由度的轨迹。
 
-欠驱动带来的困难：standard 的反馈线性化（feedback linearization）只能控制"可驱动"的那部分自由度，剩下的欠驱动自由度形成一个**内部动力学（internal dynamics）**，它不受直接控制，却决定系统稳定性。如果这个内部动力学不稳定，机器人就算精确跟踪了所有可驱动自由度，照样会摔。
+欠驱动带来的困难：标准的反馈线性化（feedback linearization）只能控制"可驱动"的那部分自由度，剩下的欠驱动自由度形成一个**内部动力学（internal dynamics）**，它不受直接控制，却决定系统稳定性。如果这个内部动力学不稳定，机器人就算精确跟踪了所有可驱动自由度，照样会摔。
 
 > **本质洞察**：HZD 的核心思想是——**与其对抗欠驱动，不如利用它**。我们不试图控制全部自由度（做不到），而是用控制把"可驱动自由度"约束到一族期望曲线上（虚拟约束），使系统坍缩到一个低维的"零动力学流形"，然后**只在这个低维流形上分析稳定性**。对平面欠驱动双足，这个流形低到只剩一维——稳定性判断变成一个标量返回映射。这是 §5.5 那个"塑性冲击使轨道收缩到低维子流形"的降维定理的**主动控制版**：被动行走是物理自发降维，HZD 是用控制主动制造降维。
 
@@ -1902,7 +1912,7 @@ def hybrid_simulate_with_saltation(x0, Phi0, modes, t_end):
 
 ### 入门与综述（先读这些建立全局）
 
-- **Kong, Payne, Zhu, Johnson, "Saltation Matrices: The Essential Tool for Linearizing Hybrid Dynamical Systems," Proceedings of the IEEE, 2024**（arXiv:2306.06862）⭐⭐⭐。**本章首选入口**。面向机器人学家的 $\Xi$ 权威教程，三步几何推导、刚体系统的 $\Xi$ 结构性质、在估计/控制中的统一应用。本章 §5.3-5.4 的推导组织即follow此文。
+- **Kong, Payne, Zhu, Johnson, "Saltation Matrices: The Essential Tool for Linearizing Hybrid Dynamical Systems," Proceedings of the IEEE, 2024**（arXiv:2306.06862）⭐⭐⭐。**本章首选入口**。面向机器人学家的 $\Xi$ 权威教程，三步几何推导、刚体系统的 $\Xi$ 结构性质、在估计/控制中的统一应用。本章 §5.3-5.4 的推导组织即沿用此文。
 - **Johnson, Burden, Koditschek, "A Hybrid Systems Model for Simple Manipulation and Self-Manipulation Systems," IJRR 2016** ⭐⭐⭐。混合系统建模的机器人学视角综述。
 
 ### 核心理论（混合系统的数学根基）