[Exam] 2026CMO广东初赛

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+title: "2026全国中学生数学奥林匹克竞赛广东赛区初赛"
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+date: 2026-05-31
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+license: All Right Reserved, 河源中学数学研究协会
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+    - Contests
+tags:
+    - 全国中学生数学奥林匹克竞赛
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+## 一试
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+### 一、填空题（每小题8分，共80分）
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+1. 设 $S=\{ a : a^{2}<2026 \}, T= \{ a  ：\text{关于}  x \text{的一元二次方程} x^{2}-4 x+a=0 \text{有整数根} \}. 则 $S \cap T $ 的元素个数为___.
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+2. 已知 $ \log _{2} x=\log _{3} y=\log _{5} \sqrt{x^{2}+y^{2}} $ ，则 $xy=$ ___.
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+3. 有24名小朋友排成一圈，现在要将小朋友们两两配对，一共配成 12 对，并要求任意两名配对的小朋友之间恰好隔了3名小朋友，则共有___种配对的方法．
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+4. 在平面直角坐标系中，点 $ A(-3,0), B(3,0) $ ，动点 $M$ 满足 $ |MA| \cdot|M B|=6 $ ，则 $M$ 的纵坐标的最大值为___.
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+5. 若存在 $n+1$ 个整数 $a_0, a_1, ...,a_n$ 同时满足
+    1. $a_0=-2026a_1$ ;
+    2. 对 $k=1,2,3,...,n-1$，有$a_{k+1} = \frac{a_{k}^2}{2a_{k}+a_{k-1}}.
+则正整数 $n$ 的最大值是___.
+
+6. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB=3,BC=2$ .将 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起后形成三棱锥 $D-ABC$ .当三棱锥 $D-ABC$ 的体积最大时，直线 $AC,BD$ 所成角的余弦值为___.
+
+7. 设整数 $1 = a_1 < a_2 < ... < a_7 = 100$ ，则 $\sum_{i=1}^{6} \left [ \frac{a_{i+1}}{a_i}  \right ] $ 的最小可能值为___.
+    - 注：$ [ x ] $ 表示不超过 $x$ 的最大整数.
+
+8. 四个互不相等的复数 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 的实部和虚部都是非负整数，且
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+$$
+\left | z_1z_2z_3z_4 \right | =2026
+$$
+
+则 $\left | z_1+z_2+z_3+z_4 \right |=$___.
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+9. 给定平面直角坐标系内3点 $A(\frac{1}{2},0),B(2,\frac{3}{2}),C=(2,-2)$ .过点 $A$ 作一条直线与圆 $x^2+y^2=1$ 交于两点 $P,Q$ ，则 $\frac{\left | BP \right | }{\left | CQ \right | } $ 的取值范围是___.
+
+10. 设 $H$ 是锐角三角形 $ABC$ 的垂心，三角形 $ABH,BCH,CAH$ 的面积分别为 2,3,4,则三角形 $ABC$ 的外接圆面积为___.
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+### 二、解答题（第11，12题每小题20分，第13，14题每题40分，共120分）
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+11. 设 $a_0=1, a_{n+1}=2a_n-1+\sqrt{3a_n^2-6a_n+4} (n \ge 0)$ .求 $ \left \{ a_n \right \}$ 的通项公式.
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+12. 设 $ABCD$ 是一个凸四边形，延长 $DC,AB$ 交于点 $E$ .已知
+
+$$
+BE=AB, BD-AD=AC-BC=\frac{1}{2}AB, CD=\sqrt{5}AB
+$$
+
+求 $\tan{\angle AED}$ .
+
+## 加试
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+13. (1)证明：对任意满足 $0<b-a\le1$ 的实数 $a,b$ ，开区间 $(a,b)$ 内分母最小的分数是唯一的（分母必须是正整数，整数视为分母为1的分数）；<br>
+(2)设整数 $m\ge2$ ，实数 $a,b$ 满足
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+$$
+\frac{1}{m(m+1)} < a < b < 1-\frac{1}{m(m+1)}, b-a > \frac{1}{m+1}.
+$$
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+证明：开区间 $(a,b)$ 内分母最小的分数的分母不超过 $m$ .
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+14. 有100名乒乓球选手参加一次单打联赛，每两人最多打一场，每一场比赛都会分出胜负.已知比赛结束后，对任意四名两两比赛过的选手，都可以从中选出三名选手，使得这三名选手之间的比赛中，每人都恰胜了一场.求比赛场数的最大可能值.