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$$\text{公理Ω}: \quad \neg\exists ;\rightarrow; \exists$$
$$\text{E-0（エネルギー密度）}: \quad \varepsilon(n) = E_0 \cdot n^{-\alpha}$$
$$\text{基本方程式}: \quad \alpha \cdot \ln n^\ast = (n^\ast-1)(n^\ast-2)\pi \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{90\pi}{\ln 11}$$
$$\text{E-}\Lambda\text{（宇宙論的定数）}: \quad \Lambda = 2(n^\ast-2) \cdot \frac{(n^\ast)^{-\alpha}}{l_P^2}$$
$$\text{E-}H\text{（ハッブル定数）}: \quad H_0 = \sqrt{\frac{8\pi G,\rho_\Lambda}{3,\Omega_\Lambda}}, \quad \rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G}$$
$$\text{E-CMB（第1ピーク）}: \quad \ell_1 = D_3(S^9) + D_1(S^9) = \binom{12}{3} = 220$$
$$\text{E-CMB（全ピーク）}: \quad \ell_k = \binom{n^\ast+1}{n_{\rm obs}} + (k-1) \cdot \frac{D_{n_{\rm obs}+1}(S^{n^\ast-2}) - D_{n_{\rm obs}-1}(S^{n^\ast-2})}{2} = 220 + (k-1) \times 303$$
$$\text{E-}R\text{（バリオン-光子比）}: \quad R_{\rm dec} = \frac{3(n^\ast - n_{\rm obs})}{4(n^\ast - 1)} = \frac{3}{5}$$
$$\text{E-}z\text{（脱結合赤方偏移）}: \quad z_{\rm dec} = \frac{n^\ast-1}{2} \cdot \binom{n^\ast+1}{n_{\rm obs}} - n^\ast = 1089$$
$$\text{E-}r\text{（テンソル・スカラー比）}: \quad r = \frac{1}{D_2(S^9)} = \frac{1}{54} \approx 0.0185$$
$$\text{E-}w\text{（暗黒エネルギー）}: \quad w = -1 \quad (\rho_\Lambda = \mathrm{const} \text{ の証明済み帰結})$$
$$\text{E-}N_{\rm eff}\text{（有効ニュートリノ数）}: \quad N_{\rm eff} = 3\left(1 + \frac{1}{D_2}\right) = 3.056$$
$$\text{E-}n_t\text{（重力波指数）}: \quad n_t = -\frac{1}{8 D_2} = -\frac{1}{432} \approx -0.00231$$
$$\text{E-}n_s\text{（スカラースペクトル指数）}: \quad n_s = 1 - \frac{4}{\alpha} = 1 - \frac{4\ln 11}{90\pi} = 0.96608$$
$$\text{E-}T\text{（CMB温度）}: \quad T_{\rm CMB} = T_P \cdot \left[(n^\ast)^{-\alpha} \cdot \frac{2}{n_{\rm obs},\pi} \cdot \frac{30}{\pi^2(n^\ast-1)^2} \cdot \left(\frac{4n^\ast-1}{n^\ast(n^\ast-1)^2}\right)^{4/3}\right]^{1/4} \approx 2.7285,{\rm K}$$
$S^9 \subset \mathbb{R}^{10}$ （埋め込み空間次元 $n=10$ ）における $\ell$ 次球面調和の縮重度は次のとおりである。
$$D_\ell(S^9) = \binom{9+\ell}{\ell} - \binom{7+\ell}{\ell-2}, \quad \ell \ge 2$$
$$D_0 = 1, \quad D_1 = 10$$
付録C： $\mathrm{so}(10)$ チャンネル位相定理の数値確認 $\text{so}(10)$ の生成子 $L_{ij}$ （ $1 \le i < j \le 10$ ）全45個に対して次が成立する。
$$\exp(2\pi \cdot L_{ij}) = I_{10\times 10}$$
Python/numpyによる数値計算で全45個 True を確認した（行列指数関数のTaylor展開、収束判定 $|e^{2\pi L} - I| < 10^{-12}$ ）。
定理： $n_{\rm obs}=3$ , $n^\ast=11$ のとき
$$\ell_k = 220 + (k-1) \times 303 \quad (k = 1, 2, 3, \ldots)$$
証明：
ステップ1： $\ell_1 = 220$ は §8.4 で代数的に証明済みである。
ステップ2： 音響スケール $\Delta\ell = 303$ の計算。
$$D_4(S^9) = \binom{13}{4} - \binom{11}{2} = 715 - 55 = 660$$
$$D_2(S^9) = \binom{11}{2} - \binom{9}{0} = 55 - 1 = 54$$
$$\Delta\ell = \frac{D_{n_{\rm obs}+1} - D_{n_{\rm obs}-1}}{2} = \frac{660 - 54}{2} = 303$$
ステップ3： $\Delta\ell$ の音響スケールとしての同定。
$S^9$ 上の偶パリティモードは静的背景場を記述し、そのモード密度の変化 $D_4 - D_2 = 606$ が次の音響振動が起こるための空間的容量の増分を表す。音響定在波はその進行波2方向の重ね合わせであるから、実効的な $\ell$ 空間間隔は $606/2 = 303$ となる。
ステップ4： 全ピーク式の成立。
第1ピーク $\ell_1 = 220$ から始まり、間隔 $\Delta\ell = 303$ で等差数列をなす。
$$\ell_k = \ell_1 + (k-1)\Delta\ell = 220 + (k-1) \times 303 \qquad \blacksquare$$
八元数の構造定数（Fano平面の7つの巡回三つ組）から、導出条件 $D(xy) = D(x)y + xD(y)$ を $\mathrm{Im},\mathbb{O}$ 上の $7 \times 7$ 行列に課す線形方程式系を構成し、その核としてLie代数を構築した。Python/numpyの特異値分解による結果は次のとおりである。
対象
次元
$\mathfrak{g}_2$ （導出方程式の核）
14
$\mathrm{Stab}(i)$ （ $D e_1 = 0$ ）
8
$\mathrm{Stab}(\mathbb{H})$ （ $\mathrm{span}{e_1, e_2, e_3}$ を保つ）
6
交差 $\mathrm{Stab}(i) \cap \mathrm{Stab}(\mathbb{H})$
4
交差はブラケットで閉じ、導来部分代数は3次元、中心は1次元である（いずれも判定閾値 $10^{-9}$ 、残差は機械精度）。中心生成子の $\mathrm{Im},\mathbb{O}$ 上の固有値は $0$ （ $e_1$ 方向）、 $\pm i/\sqrt{3}$ （ $\mathrm{span}{e_2, e_3}$ ）、 $\pm i/(2\sqrt{3})$ （各2重、 $\mathrm{span}{e_4, \ldots, e_7}$ ）であり、非対角ブロックのノルムは $10^{-15}$ 以下である。電荷比 $2:1$ が確認された（§6.10 参照）。
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本稿は独自研究の記録である。数値検証コードを含め、独立した検証・批判・議論を歓迎する。