Skip to content

MatAn.md

Latest commit

 

History

History
1009 lines (698 loc) · 102 KB

MatAn.md

File metadata and controls

1009 lines (698 loc) · 102 KB
Raw

Список вопросов по математическому анализу

1. Множества и операции над ними.

Множества

Множество — совокупность различных объектов (элементов этого множества), объединенных общим свойством
Подмножество. Множество $B$ называют подмножеством множества $A$ (пишут $B \subset A$ или $A \supset B$ ), если всякий элемент множества B есть в то же время и элемент множества A :
$B \subset A \Leftrightarrow \forall x \in B \Rightarrow x \in A$
Также, можно сказать, что множество $B$ вложено (или включено) в множество $A$

Операции над множествами:


1. Объединение
Oбъединение множеств состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из объединяемых множеств
2. Пересечение
Пересечение множеств состоит из тех и только тех элементов, которые входят одновременно в эти множества
3. Дополнение
Унарная операция нахождения множества всех элементов, не содержащихся в данном
4. Разность
Разность множеств $A$ и $B$ состоит из тех и только тех элементов множества $A$ , которые при этом не входят в множество $B$
5. Симметрическая разность
Операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам

2. Числовые множества. Окрестности.

Числовые множества:

Числовые множества - это наборы чисел, объединенных в группы согласно какими-то общим свойствам

  1. Натуральные числа
  2. Целые числа
  3. Рациональные числа
  4. Действительные числа
  5. Комплексные числа

Окрестность точки


Окрестностью действительной точки $x_0$ - любой открытый интервал, содержащий эту точку:
$U(x_0) =$ { $x: - \varepsilon_1 < x - x_0 < \varepsilon_2 , \space \varepsilon_1 > 0 , \space \varepsilon_2 > 0$ }
Здесь $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ - произвольные числа

Эпсилон окрестность точки $x_0$ - множество точек, расстояние от которых до точки $x_0$ меньше $\varepsilon$ :
$U(x_0) =$ { $x: |x-x_0| < \varepsilon$ }
ИЛИ
Эпсилон окрестность точки $x_0$ - интервал, содержащий точку $x_0$ так, что:
$(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)$

Проколотая окрестность точки $x_0$ - окрестность этой точки, из которой исключили саму точку $x_0$:
$\stackrel{\circ}{U} (x_0) = U(x_0)$ \ { $x_0$ }

3. Логические операции и логические символы. Понятие предиката. Необходимое и достаточное условие.

Логические операции:

  1. Конъюнкция $\land$
  2. Дизъюнкция $\lor$
  3. Дополнение $\lnot$
  4. Импликация $\to$
  5. Симметрическая разность $\Delta$

Предикат

Предикат - это утверждение, высказанное о субъекте (однозначно ложное или правдивое).

Необходимое и достаточное условие

Необходимое и достаточное условие - виды условий, логически связанных с некоторым суждением.

Необходимыми условиями правильности утверждения $А$ называются такие условия, без соблюдения которых утверждение $А$ заведомо не может быть верным, а достаточными условиями правильности утверждения $А$ называются условия, при выполнении которых утверждение $А$ заведомо верно.

Пример для понимания
Например, необходимым условием делимости целого числа на 2 является то, чтобы число, будучи записано в десятичной системе счисления, не кончалось цифрой 7. Условие это необходимо, но не достаточно, так как, например, число 23 не кончается цифрой 7 и всё-таки не делится на 2. Достаточным условием делимости числа на 2 является то, чтобы оно кончалось цифрой 0. Это условие достаточно, но не необходимо, так как число 38 не кончается цифрой 0 и все-таки делится на 2. Обычно употребляемый признак делимости на 2 (чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра делилась на 2) является примером условия одновременно необходимого и достаточного. Часто выражение «необходимо и достаточно» заменяется выражением «тогда и только тогда» или же выражением «в том и только в том случае».


ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ

$(A \Rightarrow B)$ верно, если выполняется необходимое и достаточное условие:
Истинность высказывания B является необходимым условием для истинности высказывания A
(условие, без которого A не может быть истинным).
Истинность высказывания A является достаточным условием для истинности высказывания B
(условие, при котором B является истинным).


Маргинал объясняет на стакане

4. Определение функции. Числовые функции.

Определение функции

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества
ИЛИ
Функция — правило, по которому любому элементу из области определения ставится в соответствие единственный элемент из области значения.

Числовые функции

Основные элементарные функции:

Вид Название Функция График
Константа Константа $y = const$ Прямая, параллельная оси Ox
Степенная Кубическая парабола $y=x^3$
Степенная Корень $y = \sqrt{x}$
Степенная Гипербола $y = k/x$
Показательная Экспонента $y = e^x$
Показательная Показательной функция a > 1 $y = a^x$
Показательная Показательной функция 1 > a > 0 $y = a^x$
Логарифмическая Логарифмическая функция a > 1 $y = log_a x$
Логарифмическая Логарифмическая функция 1 > a > 0 $y = log_a x$
Тригонометрическая Синус $y = sin(x)$
Тригонометрическая Косинус $y = cos(x)$
Тригонометрическая Тангенс $y = tg(x)$
Тригонометрическая Котангенс $y = ctg(x)$
Обратная тригонометрическия Арксинус $y = arcsin(x)$
Обратная тригонометрическия Арккосинус $y = arccos(x)$
Обратная тригонометрическия Арктангенс $y = arctg(x)$
Обратная тригонометрическия Арккотангенс $y = arcctg(x)$

Элементарные функции - функции, полученные из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции суперпозиции, примененных конечное число раз.

Теорема

Каждая элементарная функция непрерывна в области своего определения

Суперпозиция функций — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

(больше про суперпозицию есть на neerc.ifmo.ru)

5. Определение предела числовой последовательности. Единственность предела. Переход к пределу в неравенствах.

Определение предела числовой последовательнсти

Числовая последовательность — последовательность, где каждому натуральному значению n по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число $x_n$.

Определение предела числовой последовательности - число $a$ называется пределом последовательности { $x_n$ }, если для любого, сколь угодно малого числа $\varepsilon$ найдется такое положительное число $N_\varepsilon$, что для всех номеров больше $N_\varepsilon$, будет выполнено неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$.
Запись на $(\varepsilon,\space\delta)$ языке: $\forall \varepsilon > 0 \space \exists N_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n > N_\varepsilon \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon$


Единственность предела

Теорема:

Если предел есть, то он единственный.

Доказательство:

Пусть последовательность { $a_n$ } сходится и у неё есть 2 предела - $x$ и $y$, такие что $x < y$. Тогда:
$\forall \varepsilon > 0 \space \exists N_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n > N_\varepsilon \Rightarrow |a_n - x| < \varepsilon$
$\forall \varepsilon > 0 \space \exists N_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n > N_\varepsilon \Rightarrow |a_n - y| < \varepsilon$
Мы возьмем $\varepsilon$ такую, что $\varepsilon$-окрестности $x$ и $y$ не пересекаются. Но тогда члены последовательности с номерами $n > N_\varepsilon\space$ должны собираться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно. Значит, последовательнось не может иметь более одного предела.

Переход к пределу в неравенствах

Теорема:

Если элементы сходящейся последовательности { $x_n$ }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n \geq b \space (x_n \leq b)$, то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству $a \geq b \space (a \leq b)$

Доказательство

Пусть все элементы $x_n$, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n \geq b$. Требуется доказать неравенство $a \geq b$. Предположим, что $a < b$. Поскольку $a$ - предел последовательности { $x_n$ }, то для положительного $\epsilon = b - a$ можно указать номер $N$ такой, что при $n \geq N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < b - a$. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: $-(b - a) < x_n - a < b - a$. Используя правое из этих неравенств, получим $x_n < b$, а это противоречит условию теоремы. Случай $x_n \leq b$ рассматривается аналогично.

! Замечание !

Элементы сходящейся последовательности { $x_n$ } могут удовлетворять строгому неравенству $x_n > b$, однако при этом предел $a$ может оказаться равным $b$. Например, если $x_n = \frac{1}{n}$, то $x_n > 0$, однако $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = 0$

Следствие №1

Если элементы $x_n$ и $y_n$ сходящихся последовательностей { $x_n$ } и { $y_n$ }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n \leq y_n$, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: $\lim\limits_{n \to \infty} x_n \leq \lim\limits_{n \to \infty} y_n$
В самом деле, элементы последовательности { $y_n - x_n$ } неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел $\lim\limits_{n \to \infty} {y_n - x_n} = \lim\limits_{n \to \infty} y_n - \lim\limits_{n \to \infty} x_n$.
Отсюда следует, что $\lim\limits_{n \to \infty} x_n \leq \lim\limits_{n \to \infty} y_n$

Следствие №2

Если все элементы сходящейся последовательности { $x_n$ } находятся на сегменте $[a, b]$, то и ее предел c также находится на этом сегменте.
В самом деле, так как $a \leq x_n \leq b$, то $a \leq c \leq b$.

6. Ограниченность сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические действия над числовыми последовательностями, имеющими предел.

Ограниченность сходящихся последовательностей

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу)
Иначе говоря, числовая последовательность { $x_n$ } ограничена сверху (снизу), если существует такое число $c$ принадлежит $\mathbb{R}$ , что для всех номеров $n$ выполняется неравенство $x_n \leq c$ (соответственно неравенство $x_n \geq c$)


Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной.
Таким образом, числовая последовательность { $x_n$ } ограничена, если существуют такие числа: $a \in \mathbb{R}$ и $b \in \mathbb{R}$, что для всех номеров $n$ выполняется условие $a \leq x_n \leq b$. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число $c > 0$, что для всех номеров $n$ имеет место неравенство: $|x_n| < c$

Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху (снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой
Примером неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности
Cледует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность $x_n = (-1)^n \cdot n + n$ неограниченная, но не бесконечно большая.

Бесконечно большой последовательностью называется последовательность, пределом которой является бесконечность (со знаком или без знака)
Последовательность $x_n = n^2$ , $n = 1, 2, ...,$ бесконечно большая и $\lim\limits_{n \to \infty} n^2 = + \infty$

Теорема

Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть последовательность $x_n \in \mathbb{R}$, $n = 1, 2, ...$, имеет конечный предел $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \in \mathbb{R}$.
Тогда согласно определению предела последовательности, взяв $\varepsilon = 1$, получим, что существует такой номер $n_1$, что для всех номеров $n > n_1$ будет выполняться неравентсво $|x_n - a| < 1$ (в определении предела последовательности можно взять любое $\varepsilon > 0$; мы взяли $\varepsilon = 1$)

Обозначим через $d$ наибольшее из чисел $1$, $|x_1 - a|$, ..., $|x_{n_1} - a|$, . Тогда, очевидно, в силу условия $|x_n - a| < 1$ для всех $n$ принадлежит $\mathbb{N}$ будет иметь место неравенство $|x_n - a| < d$
Это и означает, что последовательность { $x_n$ } ограничена.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно большой последовательностью называется последовательность, пределом которой является бесконечность (со знаком или без знака)

Последовательность $x_n = n^2$ , $n = 1, 2, ...,$ бесконечно большая и $\lim\limits_{n \to \infty} n^2 = + \infty$

Бесконечно малой последовательностью называется последовательность, предел которой равен нулю (со знаком или без знака)

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2 + 1}{n^2}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

Свойства бесконечно малых

Свойство I:

Любая конечная линейная комбинация бесконечно малых является бесконечно малой
Доказательство:
Функция $f(x)$ является ограниченной в некоторой окрестности точки $a$ и, следовательно, существует такое число $B > 0$,
что (1) $|f(x)| < B$ для всех $x$, удовлетворяющих условию (2) $|x- a| < \delta_1$
Поскольку функция $\alpha(x)$ является бесконечно малой при $x \rightarrow a$, то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число $\delta_2$, что неравенство (3) $| \alpha(x) | < \frac{\varepsilon}{2}$ выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию (4) $|x-a| < \delta_2$
Выберем из чисел $\delta_1$ и $\delta_2$ наименьшее и обозначим его символом $\delta$. Тогда условие (5) $|x-a|< \delta$
является более сильным, чем условия (2) и (4) и поэтому влечет неравенства (1) и (3).
Таким образом, для любого произвольно малого числа $\varepsilon > 0$ выполняется неравенство для всех $x$ из $\delta$-окрестности точки $a$.

Свойство II:

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть $\varepsilon > 0$ – произвольно малое число; $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ – бесконечно малые функции при $x \rightarrow a$ . Тогда существуют такие положительные числа $\delta_1$ и $\delta_2$ , что условия (2) и (4) влекут за собой соответствующие неравенства (1) и (3)
Если $\delta$ = min( $\delta_1$, $\delta_2$), то условие (5) перекрывает оба условия (1) и (3) и, следовательно,
$|\alpha(x) + \beta(x)| <= |\alpha(x)| + |\beta(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

Арифметические действия над числовыми последовательностями, имеющими предел

Если последовательности $y_n$ и $x_n$ имеют конечные пределы $\lim\limits x_n = a$ и $\lim\limits y_n = b$, то

Сумма (разность) имеет конечный предел

$\lim\limits {(x_n \pm y_n)} = a \pm b$

Произведение имеет конечный предел

$\lim\limits {(x_n \cdot u_n)} = a \cdot b$

Разность имеет конечный предел ( $b \ne 0$ )

$\lim\limits {(x_n / y_n)} = a / b$

7. Монотонные последовательности. Критерий существования предела монотонных последовательностей. Подпоследовательности. Определение числа “e” (второй замечательный предел).

Монотонные последовательности

Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными, а строго убывающие и строго возрастающие - строго монотонными

Числовая последовательность { $x_n$ } называется возрастающей (убывающей), если для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \leq x_{n+1}$ ( соответственно неравенство $x_n \geq x_{n+1}$)
Возрастающая (убывающая) последовательность обозначается $x_n \textuparrow$ (соответственно $x_n \textdownarrow$). Если возрастающая (убывающая) последовательность имеет предел, равный $a$, то пишут $x_n \textuparrow a$ (соответственно $x_n \textdownarrow a$)
Последовательность { $x_n$ } называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n < x_{n+1}$ (соответственно неравенство $x_n > x_{n+1}$). Строго возрастающая (строго убывающая) последовательность обозначается $x_n \textuparrow \textuparrow$ (соответственно $x_n \textdownarrow \textdownarrow$).

Примеры

Последовательность { $1/n$ } строго убывает
Последовательность { $n$ } строго возрастает
Последовательность { $(-1)^n$ } немонотонная

Критерий существования предела монотонных последовательностей

Теорема (Beйepштpacc)

Всякая возрастающая числовая последовательность { $x_n$ } имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограничена сверху, причем $\lim\limits_{n \to \infty} = \sup$ { $x_n$ }. Аналогично, если { $x_n$ } - убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел $\lim\limits_{n \to \infty} = \inf$ { $x_n$ } и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность { $x_n$ } ограничена снизу, и бесконечен, если она неограничена снизу

Коротко то же самое

Любая монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел, равный точной верхней границе $\sup(x)$ для неубывающей и точной нижней границе $\inf(x)$ для невозрастающей последовательности.



Верхняя (нижняя) грань (граница) множества значений числовой последовательности { $x_n$ } называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается $\sup$ { $x_n$ } ( соответственно $\inf$ { $x_n$ })
Иначе говоря, если $x_n \in \mathbb{R}, n = 1, 2, ...,$ и если $\beta = \sup$ { $x_n$ }, то:
1) для всех $n \in \mathbb{N}$ имеет место неравенство $x_n \leq \beta$;
2) для любого $\beta' < \beta$ существует такое $n_0 \in \mathbb{N}$, что $x_{n_0} < \beta'$.
Аналогично, если $\alpha = \inf$ { $x_n$ }, то:
1) для всех $n \in \mathbb{N}$ имеет место неравенство $x_n \geq \alpha$;
2) для любого $\alpha' > \alpha$ существует такое $n_0 \in \mathbb{N}$, что $x_{n_0} < \alpha'$.

Подпоследовательности

Более простое определение

Подпоследовательность данной последовательности — это последовательность, которая может быть получена из данной последовательности путем удаления некоторых элементов или их отсутствия без изменения порядка остальных элементов

Строгое математическое определение (принцип компактности)

Если дана последовательность { $x_n$ } и из некоторых ее членов $x_{n_k}, взятых в порядке возрастания номеров $n_k (k > k'$ равносильно $n_k > n_{k'}$ ), составлена новая последовательность { $x_{n_k}$ }, то она называется подпоследовательностью последовательности { $x_n$ }.
В подпоследовательности { $x_{n_k}$ } $k$ является номером члена этой последовательности, а $n_k$ - его номером в исходной последовательности. Ясно, что для всех $k = 1, 2, ...$ имеет место неравенство $n_k \geq k$, и поэтому $\lim\limits_{k \to \infty} n_k = + \infty$
Подпоследовательности { $x_{n_k}$ } последовательности { $x_n$ } считаются различными, если они соответствуют различным наборам номеров { $n_k$ }

Теорема

Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из любой неограниченной сверху (неограниченной снизу) числовой последовательности - последовательность, имеющую своим пределом $+ \infty$ ( соответственно $- \infty$).

8. Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы.

Определение предела по Коши

Запись на $(\varepsilon,\space\delta)$ языке: $\forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta > 0: \forall x \space 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - a| < \varepsilon$

Число $a$ называется пределом функции $f(x)$ при $x \rightarrow x_0$, если $\forall \varepsilon$ (где $\varepsilon$ - сколь угодно малое число) $\exists \delta > 0$ такое, что для всех значений независимой переменной $x$, находящихся в проколотой $\delta$-окрестности точки $x_0$ будет выполнено неравенство $|f(x) - a| < \varepsilon$.

Определение предела функции по Гейне

$f(x)$ имеет предел $L$ в точке $a$, если для любой последовательности { $x_n$ }: $x_n \neq a$, сходящейся к $a:\lim\limits_{n \to \inf} x_n = a$, $\lim\limits_{n \to \inf} f(x_n) = L$.

Бесконечно малая - Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \rightarrow x_0$, если $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0$.

Бесконечно большая - Функция $f(x)$ называется бесконечно большой при $x \rightarrow x_0$, если $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty$.

Односторонний предел - Односторонним пределом называется предел, подразумевающий приближение слева $\lim\limits_{x \rightarrow x_0-} f(x)$ или справа $\lim\limits_{x \rightarrow x_0+} f(x)$.

9. Локальные свойства функций, имеющих предел. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Теорема о сжатой функции.

!TODO

10. Непрерывные функции. Различные определения непрерывности. Свойства функций, непрерывных в точке. Замечательные пределы.

!TODO

11. Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости. Эквивалентные бесконечно малые.

Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = A \neq 0$.

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем $\beta(x)$, если $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$.

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем $\beta(x)$, если $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty $.

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой величиной $k$-го порядка малости относительно $\beta(x)$ , если $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^{k}} = A \neq 0$.

Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ не существует и не равен $\infty$.

Две бесконечно малые величины $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются эквивалентными, если $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$.

12. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижимости точных граней. Теорема Коши о промежуточных значениях.

Функция $f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$ (при $a \leq x \leq b$), если она непрерывна во всех точках открытого интервала $(a, b)$ (при $a < x < b$) и непрерывна справа и слева в точках $a$ и $b$, соответственно.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

  1. Функция, непрерывная на отрезке $[a, b]$, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
  2. Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $х = х_0,$ то существует некоторая окрестность точки $х_0$, в которой функция сохраняет знак.
  3. Если функция $f(x)$ определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция $х = g(y)$ тоже однозначна, монотонна и непрерывна.
  4. Теорема Кантора. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижимости точных граней

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Достижимость максимума (минимума) функции на множестве

Функция $f$ достигает своего максимума (минимума) на множестве $X$, если существует такой аргумент $x_m$, для которого $f(x_m) \geq f(x) \space \space (f(x_m) \leq f(x))$ для всех $x \in X$.

Достижимость верхней (нижней) грани функции на множестве

Функция $f$ достигает своей верхней (нижней) грани на множестве $X$, если существует такой аргумент $x_m \in X$, для которого $f(x_m) = \sup_x f(x) \space \space (f(x_m) = \inf_x f(x))$

Легко заметить, что эти определения эквивалентны.
Если $x_m \in X$ и $f(x_m) = \max_x f(x)$, то $f(x_m) = \sup_x f(x)$.
Если $x_m \in X$ и $f(x_m) = \sup_x f(x)$, то $f(x_m) = \max_x f(x)$.

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале $X =$ { $x:0 < x < 1$ } задана функция $f(x) = x$. На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
$\sup_{x \in X} f(x) = 1, \space \inf_{x \in X} f(x) = 0$
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого $x_0 \in X$ всегда можно указать такие числа $x_1 = \frac{x_0 + 1}{2}$ и $x_2 = \frac{x_0}{2}$, принадлежащие $X$, значения функции от которых будут больше и меньше $x_0$:
$f(x_1) > f(x_0), \space f(x_2) < f(x_0)$
На отрезке $X =$ { $x:0 \leq x \leq 1$ } функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
$\sup_{x \in X} = \max_{x \in X} = f(1) = 1, \space \inf_{x \in X} f(x) = \min_{x \in X} f(x) = f(0) = 0$.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: $+ \infty (- \infty )$, а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.
Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство

Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$. И пусть $C$ есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: $A = f(a)$ и $B = f(b)$. Тогда существует точка $\xi \in [a, b]$, для которой $f( \xi ) = C$
Доказательство

Следствие 1 (первая теорема Больцано – Коши)

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$. И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: $f(a) > 0, \space f(b) < 0$ или $f(a) < 0, \space f(b) > 0$. Тогда существует точка $\xi \in (a, b)$, значение функции в которой равно нулю: $f(\xi) = 0$

13. Монотонность и непрерывность обратных функций. Классификация точек разрыва.

Монотонность и непрерывность обратных функций

Теорема

Пусть функция $y = f(x)$ строго возрастает и непрерывна на отрезке $[a; b]$.
Тогда существует обратная функция $x = g(y)$ такая, что:

  1. $g(y)$ строго возрастает.
  2. $g(y)$ определена на отрезке $[g(a); g(b)]$ и непрерывна на нём.
  3. $g(f(x)) = x$

Доказательство

Теорема об обратной функции

Классификация точек разрыва

Точка разрыва первого рода

Если в точке $a$ существуют конечные пределы $f(a-0)$ и $f(a+0)$, такие, что $f(a-0) \neq f(a+0)$, то точка $a$ называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или $f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции $f(x)$ в точке $a$: $f(a) \neq f(a-0) = f(a+0)$ или функция $f(x)$ не определена в точке $a$, то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва.

Условие непрерывности функции в точке
$\lim\limits_{x \to x_0+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0-} f(x) = f(x_0)$

Название Род Устранимый Как определить Картинка
Точка Конечный (I) Да Односторонние пределы равны, но точка не определена или не равна им.
Скачок Конечный (I) Нет Односторонние переделы не совпадают
Бесконечный Бесконечный (II) Нет Один из односторонних пределов бесконечен.

14. Вывод табличных производных, пользуясь определением. Дифференцирование функции, пользуясь правилами дифференцирования. Дифференцирование сложных, обратных функций и функций, заданных неявно и параметрически. Использование метода логарифмического дифференцирования.

Вывод табличных производных, пользуясь определением.

Все, что от нас требуется это посчитать предел из определения производной для функции:
$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} $

Таблица производных.

Правила дифференцирования.

  1. $(const \cdot f(x))' = const \cdot f'(x)$
  2. $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
  3. $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
  4. $\frac {f(x)}{g(x)} = \frac {f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)} {g^2(x)}$
  5. $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Функция, заданная неявно - функция $f(x, y) = 0$ из которой нельзя выразить $y$.

Алгоритм:

Пусть дана функция $f(x, y) = 0$.

  1. Находим $f'(x, y)$, принимая $x$ за переменную, а $y$ за сложную функцию.
  2. Выразим $y'$.

Алгоритм через частные производные:

Пусть дана функция $f(x, y) = 0$.

  1. Найдем $f_x'(x, y)$, принимая y за константу.
  2. Найдем $f_y'(x, y)$, принимая x за константу.
  3. Найдем $y'$ по формуле $y' = -\frac {f_x'(x, y)} {f_y'(x, y)}$.

Двойственность производной неявной функции:

Пусть $x^2 + y^2 + 1 = 0$.
Тогда будет две производные:
$y_1' = \sqrt {1 - x^2}$
$y_2' = -\sqrt {1 - x^2}$

Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция задана параметрически.

Алгоритм:

  1. Найти $y_t'$.
  2. Найти $x_t'$.
  3. $y' = \frac {y_t'}{x_t'}$

Использование метода логарифмического дифференцирования.

Для упрощения дифференцирования некоторых сложных функция можно использовать натуральный логарифм:
$f'(x) = f(x) \cdot (ln(f(x)))'$

15. Вывод уравнения касательной и нормали к графику функций.

Для начала стоит вспомнить (или узнать) геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$ в декартовой системе координат $XOY$. Возьмем на графике точку $M(x_0; y_0)$ и точку $N(x_0 + \triangle x; y_0 + \triangle y)$. Проведем через эти точки прямую $MN$. Эта прямая называется cекущей. Ее уравнением будет $y = kx + b$, а угловой коэффициент этой прямой равен тангенсу угла наклона секущей $k_{MN} = tg \beta = \frac{\triangle y}{\triangle x}$.

Если $x \to x_0$ то секущая $MN$ поворачивается вокруг точки $x_0$ и переходит в касательную с угловым коэффициентом $k= tg \alpha = \frac{\triangle y}{\triangle x} = y'(x_0)$

Если $\triangle x \to 0$, то секущая $MN$ поворачивается вокруг точки $М$ и в пределе переходит в касательную с угловым коэффициентом $k= tg \alpha = \lim\limits \frac{\triangle y}{\triangle x} = y'(x_0)$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению производной функции в этой точке: $k = y'(x_0)$

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке. Значение производной $f'(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной.

Касательная - прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её.

Нормаль – это прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания

Уравнения касательной и нормали

Уравнение касательной к кривой $y = f(x)$ в точке $x_0$ запишем как уравнение прямой, которая проходит через заданную точку: $y - y_0 = k \cdot (x - x_0) \space \Rightarrow \space y - y_0 = y'(x_0) \cdot (x - x_0)$.

Из опеределения нормали следует, что это прямая перепендикулярная касательной $\Rightarrow$ их угловые коэффициенты связаны в виде $k_{нормали} = - \frac{1}{k_{касательной} }$

Уравнение нормали к кривой $y = f(x)$ в точке $M(x_0; y_0)$ запишем как уравнение прямой, которая проходит через заданную точку: $y - y_0 = - \frac{1}{k} (x - x_0) \space \Rightarrow \space y - y_0 = - \frac{1}{y'(x_0)} (x - x_0)$.

16. Дифференциал и дифференцируемость функции. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.

Функция одного аргумента, дифференцируемая в точке.

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная.
Более того $f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) + o(x - x_0) \Leftrightarrow f'(x_0) = A$, при $x \rightarrow x_0$

Иными словами, функция дифференцируема в точке $x_0$, если изменение ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной $x − x_0$ смещения от точки $x_0$.

При этом, такая функция будет обязательно непрерывна в этой точке (обратное неверно).
Если функция одного аргумента дифференцируема, то у нее есть производная.

Дифференциал функции

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, Тогда приращение этой функции можно представить в виде:
$\Delta y = f'(x_0) \cdot \Delta x + o(\Delta x)$, при $\Delta x \rightarrow 0$.

Дифференциал - линейная относительно $\Delta x$ часть приращения дифференцируемой функции $y = f(x)$, обозначается как $dy = f'(x)dx$ ( $\Delta x = dx$, так как x - независимая переменная).

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

С помощью дифференциала можно линейно аппроксимировать функцию в точке, так как:
$f(x + \Delta x) - f(x) = f'(x_0) \cdot \Delta x + o(\Delta x)$, откуда получим приближенное равенство:
$f(x + \Delta x) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x + f(x)$, то есть $\Delta y \approx dy$.

Алгоритм приближенного вычисления функции в точке.

  1. Выбери $x$ и $\Delta x$ для точки $x_0$.
  2. Найди $f'(x)$.
  3. Вычисли $dy = f'(x) \Delta x$.
  4. Вычисли $f(x_0) \approx f(x) + dy$

use calculus, NOT calculators

17. Французские теоремы.

Теорема Ферма (о равенстве нулю производной)

Пусть функция $y = f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:

  1. Она дифференцируема на интервале $(a; b)$;
  2. Достигает наибольшего или наименьшего значения в точке $x \in (a; b)$.

    Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)


В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс

Теорема Ролля (о нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция $y = f(x)$

  1. Непрерывна на отрезке $[a;b]$;
  2. Дифференцируема на интервале $(a;b)$;
  3. На концах отрезка $[a;b]$ принимает равные значения $f(a) = f(b)$.

    Тогда на интервале $(a;b)$ найдется, по крайней мере, одна точка $x_0$ , в которой $f'(x_0) = 0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)


Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если $f(a) = f(b) = 0$, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа. (o конечных приращениях)

Пусть функция $y = f(x)$

  1. Непрерывна на отрезке $[a;b]$;
  2. Дифференцируема на интервале $(a;b)$;

    Тогда на интервале $(a;b)$ найдется по крайней мере одна точка $x_0$ , такая, что $\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(x_0)$

! Замечание !

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда $f(a) = f(b)$. A доказательство теоремы Лагранжа сводится к применению теоремы Ролля к некоторой вспомогательной функции.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)


Геометрический смысл теоремы заключается в том, что при выполнении ее условий на дуге $AB$ графика найдется точка $x_0 (M)$ (хотя бы одна) с абсциссой $x_0 \in (a;b)$ такая, что касательная в ней к графику функции параллельна хорде $AB$: угловой коэффициент хорды $AB$: $k_1 = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, а угловой коэффициент касательной $k_2 = f'(x_0)$ ; равенство же угловых коэффициентов двух прямых обеспечивает их параллельность.
$k_1 = k_2 \space \Rightarrow \space \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(x_0) \space \Rightarrow \ space f(b)-f(a) = f'(x_0) \cdot (b-a)$

Теорема Коши. (oб отношении конечных приращений двух функций)

Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

  1. Непрерывны на отрезке $[a;b]$;
  2. Дифференцируемы на интервале $(a;b)$;
  3. Производная $g'(x) \neq 0$ на интервале $(a;b)$,

    Тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка $x_0$ , такая, что
    $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$

18. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная n-ного порядка - производная, взятая от производной n - 1 порядка, где если n = 0, то подразумевается сама функция:
$f^{(n + 1)}(x) = f^{(n)}(x)$
$f^{(0)}(x) = f(x)$

Дифференциал n-ного порядка - дифференциал, полученный из производной n-ного порядка:
$d^n y = y^{(n)}dx^{n}$

Формула Лейбница
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ n-раз дифференцируемые функции, тогда мы можем миновать последовательные вычисления использовав эту формулу:
$$(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k f^{(n - k)} g^{(k)}$$
Данная формула получена из правила произведения производных.

19. Правило Лопиталя для вычисления пределов (с выводом).

Правило Лопиталя

Правило говорит, что если функции $f(x)$ и $g(x)$ обладают следующим набором условий:

  1. $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to a^{+}} g(x) = 0$ или $\infty$
  2. $\exists \lim\limits_{x \to a^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$;
  3. $g(x) \neq 0$ в некоторой окрестности точки $a$

    Тогда существует $\lim\limits_{x \to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Доказательство для неопределенности вида $(\frac{0}{0})$

Поскольку мы рассматриваем функции $f$ и $g$ только в правой проколотой полуокрестности точки $a$, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $f(a) = g(a) = 0$. Возьмём некоторый $x$ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $[a, x]$ теорему Коши. По этой теореме получим:
$\exists c \in [a, x] : \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$
но $f(a) = g(a) = 0$, поэтому $\forall x \exists c \in [a, x]: \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $A$, из полученного равенства выводим:
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x ( x - a < \delta \Rightarrow |\frac {f(x)}{g(x)} - A | < \varepsilon)$ для конечного предела и
$\forall M > 0 \exists \delta > 0 \forall x ( x - a < \delta \Rightarrow |\frac {f(x)}{g(x)}| > M)$ для бесконечного
что является определением предела отношения функций.

Доказательство для неопределенности вида $(\frac{\infty}{\infty})$

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $A$. Тогда, при стремлении $x$ к $a$ справа, это отношение можно записать как $A + \alpha$, где $\alpha — O(1)$. Запишем это условие:
$\forall \varepsilon_{1} \exists \delta_{1} \forall x ( x - a < \delta_{1} \Rightarrow \alpha (x) < \varepsilon_{1})$
Зафиксируем $t$ из отрезка $[a, a + \delta_1]$ и применим теорему Коши ко всем $x$ из отрезка $[a ;t]$:
$\forall x \in [a;t] \exists c \in [a;x] : \frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$, что можно привести к следующему виду:
$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1 - \frac{f(t)}{f(x)}} \cdot \frac{f'(c)}{g'(c)}$
Для $x$, достаточно близких к $a$, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $f(t)$ и $g(t)$ — константы, а $f(x)$ и $g(x)$ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $1 + \beta$, где $\beta$ — бесконечно малая функция при стремлении $x$ к $a$ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $\varepsilon$, что и в определении для $\alpha$:
$\forall \varepsilon_{1} \exists \delta_{2} \forall x ( x - a < \delta_{2} \Rightarrow \beta (x) < \varepsilon_{1})$
Получили, что отношение функций представимо в виде $(1 + \beta)(A + \alpha)$, и $| \frac{f(x)}{g(x)} - A| < |A| \varepsilon_{1} + \varepsilon_{1} + \varepsilon_{1}^{2}$. По любому данному $\varepsilon$ можно найти такое $\varepsilon_{1}$, чтобы модуль разности отношения функций и $A$ был меньше $\varepsilon$, значит, предел отношения функций действительно равен $A$.
Если же предел $A$ бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
$\forall M > 0 \exists \delta_{1} > 0 \forall x (x - a < \delta_{1} \Rightarrow \frac{f'(x)}{g'(x)} > 2M)$.
В определении $\beta$ будем брать $\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}$; первый множитель правой части будет больше $\frac{1}{2}$ при $x$, достаточно близких к $a$, а тогда $\frac{f(x)}{g(x)} > \frac{1}{2} \cdot 2M = M \Rightarrow \lim\limits_{x \to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = + \infty$.

20. Разложение функции по формуле Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

Определение числового, функционального, степенного рядов:

Числовой ряд состоит из чисел

$$\sum_{n=1}^{n \rightarrow \inf} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$$

Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: $a_1 + a_2 + a_3 + ... = S$.

Функциональный ряд состоит из функций

$$\sum_{n=1}^{n \rightarrow \inf} \upsilon(x)_n = \upsilon(x)_1 + \upsilon(x)_2 + \upsilon(x)_3 + ...$$

Степенной ряд - это разновидность функционального ряда.

Членами степенного ряда являются целые положительные степени переменной $x$ либо двучлена $(x-a) (a = const)$, умноженные на числовые коэффициенты: $$\sum_{n=0}^{n \rightarrow \inf} c_nx^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + ... $$

Разложение функции в степенной ряд по формуле Тейлора:

Определение- Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:
$$f(x) = f(a) + \frac{f(a)'}{1!}(x-a) + \frac{f(a)''}{2!}(x-a)^2 + \frac{f(a)'''}{3!}(x-a)^3 + \frac{f(a)'^n}{n!}(x-a)^n$$

Разложение Тейлора по степеням $x$ (Разложение МаклОрена)

$$f(x) = f(0) + \frac{f(0)'}{1!}(x) + \frac{f(0)''}{2!}(x)^2 + \frac{f(0)'''}{3!}(x)^3 + \frac{f(0)'^n}{n!}(x)^n$$

Остаточный член в формуле Лагранжа:

Необходим для контроля погрешности для вычислений основанных на рядах Тейлора.

$R_n(X) = \frac{f^{(n+1)'} (c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ где $c$ - точка между $x$ и $x_0$.
Частным случаем этой формулы при $n = 0$ является теорема Лагранжа:
$f(x) = f(x_0) + f(c)'(x - x_0)$
Разложение Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$$\sum_{k=0}^{n \rightarrow \inf} \frac{f^{k'}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)'}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

21. Экстремумы и промежутки возрастания и убывания. Точка перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости.

Возрастание и убывание на отрезке

Функция $y=f(x)$ возрастает на интервале $X$, если для любых $x_1 \in X$ и $x_2 \in X$ $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) > f(x_2)$
Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Точки экстремума

Точку $x_0$ называют точкой максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из ее окрестности справедливо $f(x_0) \geq f(x)$. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают $y_{max}$.

Необходимое условие экстремума

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x0$, то ее производная $f(x_0)'$ либо равна нулю, либо не существует.

Первое достаточное условие(я)

1.функция непрерывна в окрестности точки $x_0$;
2. $f(x_0)' = 0$ или не существует;
3.Производная $f(x)'$ при переходе через точку $x_0$ меняет знак.

Второе достаточное условие

1.функция непрерывна в окрестности точки $x_0$;
2. $f(x_0)' = 0$
3.Производная $f(x)'' \neq 0$, если $f(x)'' > 0$ то $x_0$ точка минимума.

Точка перегиба


Достаточное условие

Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и имеет в этой точке конечную третью производную и если $f(x_0)''$ меняет знак при переходе через точку $x_0$, то точка $x_0$ — точка перегиба функции $f(x)$.

Необходимое условие

Если точка $x_0$ — точка перегиба функции $f(x)$ (непрерывной в точке $x_0$) и если $\exists f(x)''$ в некоторой окрестности точки $x_0$ , то $f(x_0)''=0$.

Промежутки выпуклости\вогнутости

Определение:
Кривая $f(x)$ называется выпуклой вниз на промежутке $(a;b)$, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Кривая $f(x)$ называется выпуклой вверх на промежутке $(a;b)$, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

22. Определение наименьшего и наибольшего значений функции на промежутке. Асимптоты графика функции. Проведение полного исследования функции и построение их графиков.

Определение наименьшего и наибольшего значений функции на промежутке

Промежуток, или, если более точно, промежуток числовой прямой, — это множество вещественных чисел — таких, что если некоторые два числа принадлежат этому множеству, то любое число, лежащее между ними, тоже принадлежит этому множеству

Пусть $X$ - некоторое множество, входящее в область определения $D(f)$ функции $y = f(x)$

Область опеределения функции и множество значений функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$). Геометрически — это проекция графика функции на ось $Oх$. Чтобы обозначить область определения некоторой функции $y$, используют запись $D(y)$ .
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось $Оy$


Значение $f(x_0)$ функции $y = f(x)$ в точке $x_0 \in X$ называют наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если для любой точки $x \in X$ выполненено неравенство: $f(x) \leq f(x_0)$
Значение $f(x_0)$ функции $y = f(x)$ в точке $x_0 \in X$ называют наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если для любой точки $x \in X$ выполненено неравенство: $f(x) \geq f(x_0)$

Теорема (Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Следствие

Пусть $x_1, x_2, ..., x_n$ - критические точки функции $y = f(x)$ на отрезке $[a,b]$. Тогда наибольшее и наименьшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[a,b]$ равны наибольшему и наименьшему из чисел: $f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)$ соответственно

Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными, а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная не существует, называются критическими.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$

  1. Найти область определения функции $D(f)$.
  2. Найти производную $f'(x)$.
  3. Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие интервалу $(a; b)$.
  4. Найти $f(a), f(b)$ и значения функции в стационарных точках точках, принадлежащих интервалу $(а; b)$.
  5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Асимптоты графика функции


Определение Екатерины Воиславовны Милованович
Асимптота - прямая, к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления точек от начала координат
Определение Ивана Александровича Лапина

Прямая линия называется асимптотой графика функции $y = f(x)$, если расстояние между текущей точкой графика и это прямой стремится к нулю по мере удаления точки от начала координат

Вывод формул асимптот

Итак, предположим, что график функции имеет наклонную асимптоту $y = kx+b \space (k \neq \pm \infty)$, тогда очевидно, что
$\lim\limits_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx - b) = 0 \space \Rightarrow \lim\limits_{x \to \pm \infty} ( [ \frac{f(x)}{x} - k ] - \frac{b}{x}) = 0$
Вледствие того, что $b/x \to 0$, при $x \to \pm \infty$, то ясно, что последнее предельное равенство может иметь место, лишь когда выражение в квадратной скобке стремится к нулю, а тогда имеем
$k = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$
Если $k$ найдено, то нетрудно найти и $b$
$b = \lim\limits_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx)$
В частности, если окажестся что $k = 0$, то мы будем иметь частный случай наклонной асимптоты - горизонтальную асимптоту. С другой стороны, прямая $x = a$ будет являться вертикальной асимптотой, если $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$

Проведение полного исследования функции и построение их графиков

Алгоритм проведения исследования функции

  1. Определить область определение функции
  2. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной, исследовать на переодичность
  3. Найти точки, подозрительные на экстремум и выяснить характер экстремумов с помощью первой или второй производной, а также вычислить $y_{min}$ и $y_{max}$
  4. Определить интервалы возрастания и убывания функции
  5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции
  6. Найти точки перегиба
  7. Найти асимптоты графика функции
  8. Вычислить значение функции в некоторых контрольных точках и найти точки пересечения графика функции с координатными осями
  9. Нарисовать график функции


График функции строится на основе данных, полученных из исследования функции

23. Область. Замкнутая область. Понятие функции двух переменных. Геометрический смысл. Предел функции двух переменных.

Область

Назовем точку $M'(x_{1}', x_{2}', ... , x_{n}') внутренней точкой множества $M$ в $n$-мерном пространстве, если она принадлежит множеству $M$ с некоторого достаточно малой ее окрестностью. Множество целиком состоящих из внутренних точек будем называть открытой областью. Точка $M_0$ называется точкой сгущения множества $M$ если в любой ее окрестности безразлично какого типа находится хоть одна точка $M$ отличная от точки $M_0$. Точки сгущения для открытой области не принадлежащие ей называются пограничными точками этой области, которые в совокупности образуют границу области.
Например, открытый паралепипед пограничные точки будут $M(x_1, x_2, ..., x_n), a_1 \leq x_1 \leq b_1, a_2 \leq x_2 \leq b_2, ..., a_n \leq x_n \leq b_n$, в которой хоть в одном случае будет равенство.

Замкнутая область


Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Замкнутой области принадлежат любые ее точки сгущения. Множество точек $M$ называется ограниченным, если оно содержится целиком в некотором прямоугольном параллепипеде. Область называется связанной, если любые ее две точки можно соединить ломанной лежащей всеми своими точками в области.

Понятие функции двух переменных


Пусть $X$, $Y$ и $Z$ - множества. Если каждой паре $(x, y)$ элементов из множеств соответственно $X$ и $Y$ в силу некоторого закона $f$ ставится в соответствие один и только один элемент $z$ из множества $Z$, то говорят, что задана функция двух переменных $z = f(x, y)$
Ставя в соответствие каждой точке аппликату $z = f(x, y)$, мы получим некоторое множество точек $(x; y; z)$ трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство $z = f(x, y)$ называют уравнением поверхности.

Декартовы координаты $x, y и z$ называются соответственно её абсциссой, ординатой и аппликатой.

Геометрический смысл

Рассмотрим график функции двух переменных $z = f(x,y)$. Таким графиком будет некоторая поверхность в пространстве. Выберем на ней произвольную точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$, причем $z_0 = f(x_0, y_0)$.
Пересечем поверхность плоскостью $y = y_0$. Результатом такого пересечения будет пространственная кривая, которую описывает функция одной переменной. Угловой коэффициент касательной линии к графику функции $z = f(x, y_0)$ в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ равен частной производной
$tg \alpha = \frac{\delta z}{\delta x} = f_{x}' (x_0, y_0)$
При пересечении поверхности плоскостью $x = x_0$, получаем
$tg \beta = \frac{\delta z}{\delta y} = f_{y}' (x_0, y_0)$
Таким образом

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов наклона касательных линий к графику функции в заданной точке.

Предел функции двух переменных

Число $a$ называется пределом функции двух переменных $z = f(x, y)$ при $P \to P_0$, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется такая $\delta$-окрестность точки $P_0(x_0, y_0)$, что для любой точки $P(x,y)$ этой окрестности (за исключением, быть может, точки $P_0$) имеет место неравенство $|f(P) - a| < \varepsilon$, или $|f(x, y) - a| < \varepsilon$.

При этом пишут $\lim\limits_{P \to P_0} f(P) = a$ или $\lim\limits_{x \to x_0 \ y \to y_0} f(P) = a$, так как при $P(x, y) \to P_0(x_0, y_0)$, очевидно, $x \to x_0, y \to y_0$.
Заметим, что если число $a$ есть предел функции $z = f(x, y)$, то как это следует из определения предела, разность $(f(x,y) - a)$ является бесконечно-малой, когда точка произвольным образом (по любому направлению) неограниченно приближается к точке $P_0$.

24. Частные производные первого и второго порядка, их свойства.

Функция двух переменных

Определение:
$z = f(x,y)$ где $x$ и $y$ независимые переменные или аргументы.
В геометрическом смысле функция задает поверхность(плоскость, шар, параболлоид и т.д).

Дифференцирование функции по аргументу(Частная производная)

Определение:
Если существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta_x z}{\Delta x}} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} {\frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}}$ , то он называется частной производной функции от двух переменных и обозначается:
$\frac{\partial z}{\partial x} = z_x'$ $\frac{\partial z}{\partial y} = z_y'$

Правила дифференцирования

1.Все аргументы за исключением дифференцируемого принимаются за $const$(константу), таким образом правила дифференцирования функции одной переменной $f(x)$ сохраняются и для функции с большим количеством аргументов.
2.Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

25. Нахождение экстремума функции двух переменных.

В точке $M_0$ функция $z(x, y)$ имеет максимум (минимум), если существует проколотая $\varepsilon$-окрестность точки $M_0$ такая, что для всех точек $M$ из этой окрестности имеет место неравенство $z(M) < z(M_0)$ (наоборот для минимума). Точки минимума или точки максимума называются точками экстремума. Эти понятия отличается от понятий наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

Необходимое условие существования экстремума
Тогда для того, чтобы функция имела в $M_0$ локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке частные производные, если существуют были равны нулю. Обратное не обязательно верно. Точки, в которых частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует называются стационарными.

Достаточное условие существования экстремума в точке $M_0$
$\Delta (M_0) = z_{x^2}''(M_0) \cdot z_{y^2}''(M_0) - (z_xy''(M_0))^2 > 0$
$z_{x^2}''(M_0) < 0$ - точка максимума.
$z_{x^2}''(M_0) > 0$ - точка минимума.

Достаточное условие отсутствия экстремума в точке $M_0$
$\Delta (M_0) = z_{x^2}''(M_0) \cdot z_{y^2}''(M_0) - (z_xy''(M_0))^2 < 0$

Сомнительный случай, требуются дополнительные ислледования
$\Delta (M_0) = z_{x^2}''(M_0) \cdot z_{y^2}''(M_0) - (z_xy''(M_0))^2 = 0$

Алгоритм

  1. Найти частные производные и составить из них систему, прировняв их к нулю.
  2. Найти из составленной системы стационарные точки.
  3. Найти частные производные второго порядка.
  4. Проверить стационарные точки достаточным условием существования экстремума в точке.

Матпрофи

26. Условный экстремум.

Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\phi (x,y) = 0$.
Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\phi (x,y) = 0$

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных

Функция Лагранжа: $F(x,y) = f(x,y) + \lambda \phi (x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа)

Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
$\frac{\delta F}{\delta x} = 0$
$\frac{\delta F}{\delta y} = 0$
$\phi (x,y) = 0$

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак:
$d^2F = F_{xx}''dx^2 + 2F_{xy}''dx^2dy^2 + F_{yy}''dy^2$
Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z = f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F < 0$, то условный максимум.

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных

Допустим, мы имеем функцию $n$ переменных $z=f(x_1,x_2,…,x_n)$ и $m$ уравнений связи $(n>m)$:
$\phi_1(x_1,x_2,…,x_n) = 0$; $\phi_2(x_1,x_2,…,x_n) = 0$, $…,$ $\phi_m(x_1,x_2,…,x_n) = 0$.

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m$ составим функцию Лагранжа:
$F(x_1,x_2,…,x_n,\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m) = f+ \lambda_1\phi_1 + \lambda_2\phi_2 + … + \lambda_n\phi_m$

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:
$\frac{\delta F}{\delta x_i} = 0$ ; $i \in [1,n]$
$\phi j=0$ ; $j \in [1,m]$

27. Полный дифференциал функции двух переменных. Его применение к приближённым вычислениям.

!TODO

28. Дифференциалы высших порядков и формула Тейлора для функции двух переменных.

!TODO

29. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Односторонние и двухсторонние поверхности.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Функция $z(x, y)$ задает поверхность $F(x, z, y)$.

Касательная плоскость к поверхности в точке $M_0$ – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку $M_0$.
Касательная плоскость в точке $M_0$ задается следующим уравнением:
$$\frac {x - x_0} {F_x'(M_0)} = \frac {y - y_0} {F_y'(M_0)} = \frac {z - z_0} {F_z'(M_0)}$$

Нормаль к поверхности в точке $M_0$ – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.
Из общего уравнения касательной плоскости можно вытащить вектор нормали и записать из него уравнение прямой.

Односторонние и двусторонние поверхности

Гладкая поверхность - поверхность, в которой все функции, участвующие в ее описании непрерывны и дифференцируемы для каждой частной производной.
What is a smooth surface?

Определение с Википедии - да, я не нашел ничего лучше.
Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали. В противном случае поверхность называют односторонней.
Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.


Примером односторонней поверхности может послужить лента Мёбиуса.

Односторонние и двусторонние поверхности, 1986

30. Скалярное поле, градиент, производная по направлению.

Скалярное поле.

Поле - множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления.

Определения с лекций Милованович
Алгебраическая структура (система) - множество-носитель с заданным на ним набором операций-сигнатур, удовлетворяющим некоторой системе аксиом.
Кольцо - алгебраическая структура, которая содержит сумму и произведение любых двух своих элементов.
Поле - числовое кольцо, в котором содержится частное двух своих чисел.

Скаляр - элемент поля (число).


$f (x, y) = x^2 + y^2$. $u$ - единичный вектор, задающий направление. Заметим, что градиент $\nabla f$ длиннее вектора $u \nabla_u f$.

Градиент.

Градиент - функция, задающая вектор, указывающий в сторону направления наискорейшего возрастания (в случае антиградиента - убывания) функции.

$\nabla f = grad(f) = \frac {\partial f} {\partial x} i + \frac {\partial f} {\partial y} j + \frac {\partial f} {\partial z} k$

Градиент составляется из частных производных по каждой переменной (сохраняя порядок переменных). Выше приведен градиент для трехмерного пространства в Декартовой системе координат.

Длина градиента - считается как длина вектора. То есть:
$|\nabla f| = \sqrt {(\frac {\partial f} {\partial x})^2 + (\frac {\partial f} {\partial y})^2 + (\frac {\partial f} {\partial z})^2}$

Алгоритм выполнения задачи о подсчете градиента в точке $M_0$:

  1. Найти все частные производные функции.
  2. Подставить в них точку $M_0$.
  3. Записать их в вектор.

Производная по направлению.

Производная по направлению вектора $v = (v_1, v_2, ..., v_n)$ функции $f(M) = (x_1, x_2, ..., x_n)$ (в Декартовой системе координат) определяется следующим пределом:
$\nabla_v f(M) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(M + h v) - f(M)} {h |v|}$
Если функция дифференцируема в $M$, то:
$\nabla_v f(M) = \frac {\partial f} {\partial v} = \nabla f(M) \cdot \frac {v} {|v|}$
То есть, скалярное произведение градиента функции в точке на орт $v$. Очевидно, что это будет числом.
Производная по направлению показывает, как быстро меняется функция в направлении вектора $v$.

Алгоритм выполнения задачи о подсчете производной по направлению:

  1. Найди градиент функции.
  2. Найди орт вектора $v$.
  3. Скалярно умножь их.

31. Комплексные числа: арифметические действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Геометрическая трактовка комплексных чисел. Задание областей на комплексной плоскости.

Комплексное число - число вида $a + bi$, где $a$ и $b$ - числа из действительного поля, а $i$ - мнимая единица.

Мнимая единица - $i^2 = -1$.

Действия в алгебраической форме.

Действительная часть

$Re(a + bi) = a$

Мнимая часть

$Im(a + bi) = b$

Сложение

$(a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y) \cdot i$

Умножение

$(a + bi) \cdot (x + yi) = (ax - by) + (ay + bx) \cdot i$

Геометрическая трактовка.


Комплексное число можно представить в виде вектора с координатами $(a, b)$.

Модуль и аргумент комплексного числа


Пусть задано комплексное число $z = a + bi$
Его модуль: $|z| = \sqrt {x^2 + y^2}$
Его аргумент:
$a > 0$ (I и IV четверти)
$Arg(z) = arctg(\frac{a}{b})$
$a < 0, b > 0$ (II четверть)
$Arg(z) = \pi + arctg(\frac{a}{b})$
$a < 0, b < 0$ (III четверть)
$Arg(z) = -\pi + arctg(\frac{a}{b})$

Действия в тригонометрической форме.

Умножение

$z_1 z_2 = |z_1||z_2|(cos(\phi_1 + \phi_2) + sin(\phi_1 + \phi_2)i)$

Возведение в степень (Формула Муавра)

$z^n = |z|^n (cos(n\phi) + sin(n\phi)i)$

Задание областей на комплексной плоскости.

!TODO что это вообще?