LinAl.md

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ. I семестр I курс

1. Матрицы. Основные понятия. Виды квадратных матриц. Транспонирование. Линейные операции над матрицами.

!TODO

2. Матрицы. Элементарные преобразования матриц. Произведение матриц.

!TODO

3. Определители. Основные свойства определителей.

!TODO

4. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа (разложение определителя по ряду).

!TODO

5. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Ортогональная матрица.

!TODO

6. Ранг матрицы. Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре.

!TODO

7. Линейная независимость рядов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

!TODO

8. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Метод обратной матрицы.

!TODO

9. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.

!TODO

10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

!TODO

11. Системы линейных однородных уравнений. Необходимое и достаточное условие существования ненулевых решений.

!TODO

12. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о фундаментальной системе решений. Структура общего решения линейной однородной системы.

!TODO

13. Неоднородные системы линейных уравнений. Структура общего решения.

!TODO

14. Векторы. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и координаты в трехмерном пространстве.

!TODO

15. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Направляющие косинусы.

!TODO

16. Скалярное произведение. Выражение скалярного произведения через координаты. Приложения скалярного произведения.

!TODO

17. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты. Приложения векторного произведения.

!TODO

18. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл. Выражение смешанного произведения через координаты. Приложения смешанного произведения.

!TODO

19. N-мерный вектор. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение. Длина.

!TODO

20. Линейное векторное пространство. Аксиомы линейного пространства. Примеры. Линейная независимость векторов.

Поле - множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления.

Скаляр - элемент поля (число).

Линейное или векторное пространство $L$ - множество элементов $V$, называемых векторами, на котором определены операции сложения векторов и умножения векторов на скаляр, причем результаты этих операций являются элементами этого множества.

Любым двум векторам $x \in L$ и $y \in L$ поставлен в соответствие вектор $(x + y) \in L$ (сумма $x$ и $y$).
Любому вектору $x \in L$ и любому скаляру $\alpha \in \mathbb{R}$ поставлен в соответствие вектор $\alpha x \in L$ (произведение вектора $x$ на скаляр $\alpha$).

Восемь аксиом линейного пространства

Аксиомы сложения:

1. Сложение коммутативно: $\space x + y = y + x$;
2. Сложение ассоциативно: $\space x + (y + z) = (x + y) + z$;
3. Существует единственный нулевой вектор (0): $\space \forall x \in L \space : \space x + 0 = x$;
4. Существует единственный вектор $(-x)$, обратный $x$: $\space \forall x \in L \space : \space x + (-x) = x$;

Аксиомы умножения на скаляр:

1. Умножнение на скаляр ассоциативно: $\alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$;
2. Существует единственный единичный скаляр (1): $\space (x \ne 0) \in L \space : \space 1x = x$;
3. Умножнение на скаляр дистрибутивно относительно сложения элементов: $\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$;
4. Умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения скаляров: $(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x$.

Линейная зависимость и независимость

Система векторов $a_1, a_2, \dots, a_n$ называется...

Линейно зависимой:

Если линейная комбинация $\space\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \dots + \lambda_n a_n\space$ представляет собой нулевой вектор, когда среди чисел $\space\lambda_1, \lambda_2 , \dots, \lambda_n\space$ есть хотя бы одно, отличное от нуля.

Линейно независимой:

Если линейная комбинация $\space\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \dots + \lambda_n a_n\space$ представляет собой нулевой вектор, только тогда, когда все числа $\space\lambda_1, \lambda_2 , \dots, \lambda_n\space$ равны нулю.

21. Базис линейного векторного пространства и координаты вектора. Разложение вектора линейного пространства по системе векторов. Размерность пространства.

Базис линейного пространства

Размерность линейного пространства - число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

!TODO ДОПОЛНИТЬ

!TODO НАПИСАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Базис линейного пространства - упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства. Векторы базиса называются базисными векторами.

Базис линейного пространства $L$ - любая упорядоченная система $a_1, a_2, \dots, a_n$ его векторов, удовлетворяющая следующим требованиям:

• Любой вектор из $L$, не принадлежащий данной системе, можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов из данной системы;
• Ни один вектор $a_k$ из данной системы нельзя представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов из данной системы;

Линейная комбинация — выражение, построенное на множестве элементов путём умножения каждого элемента на коэффициенты с последующим сложением результатов (например, линейной комбинацией $x$ и $y$ будет выражение вида $a \cdot x + b \cdot y$, где $a$ и $b$ — коэффициенты)

Координаты вектора - упорядоченный набор коэффициентов, с помощью которых данный вектор выражается через данные базисные векторы.

Разложение вектора по базису

Теорема:

Каждый вектор пространства $L$ имеет в базисе $В$ единственный набор координат.

Доказательство:

!TODO 😈

Разложение вектора линейного пространства по системе векторов

!TODO

22. Подпространство линейного пространства.

!TODO

23. Переход к новому базису.

!TODO

24. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.

!TODO

25. Норма Евклидова пространства. Угол между векторами.

!TODO

26. Ортонормированный базис. Ортогонализация.

!TODO

27. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия с линейными операторами. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

Линейный оператор (преобразование) - правило, по которому преобразуются вектора линейного пространства.

Оператор $T$ называется линейным, если:

1. $x_1, x_2 \in L : T (x_1 + x_2) = T x_1 + T x_2$
2. $x \in L, \alpha \in \mathbb{R} : T (\lambda x) = \lambda T x$

Матрица линейного оператора выражает линейный оператор в каком-то базисе. Чтобы её получить нужно поочередно подействовать на векторы базиса оператором и координаты полученных векторов записать в столбцы матрицы (сохраняя порядок).

!TODO НАПИСАТЬ ПРО МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА И A-1TA

28. Ядро, образ, ранг, дефект линейного оператора.

!TODO

29. Сопряженный и самосопряженный оператор.

!TODO

30. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.

Собственное уравнение

$Tx = \lambda x$, где:

$T$ - линейный оператор;
$\lambda \in \mathbb{R}$ - собственное число;
$x \ne 0 \in V$ - собственный вектор;

Собственный вектор $x$ отображается оператором $T$ в линейно зависимый ему вектор $\lambda x$.

Теорема о характеристическом многочлене

Теорема:

Характерестическим многочленом называется следующее выражение: $\space det(T - \lambda E)$, где:
$T$ - матрица линейного оператора;
$E$ - единичная матрица;
$\lambda \in \mathbb{R}$ - собственное число;
Решением этого многочлена будут собственные числа.

Доказательство:

$x \ne 0 \in V$ - собственный вектор;
$Tx = \lambda x$
$Tx - \lambda x = 0$
$(T - \lambda E) x = 0$
Т.к. $x \ne 0$
$(T - \lambda E) = 0$ в том случае, если однородная система, представленная этой матрицей, имеет ненулевое решение.
А значит, ее уравнения линейно зависимы, тогда $det(T - \lambda E) = 0$
Ее определитель равен нулю.

31. Линейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

!TODO

32. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Теорема Лагранжа.

!TODO

33. Метод Якоби. Диагонализация.

!TODO

34. Знакоопределённость квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

!TODO

35. Системы координат на плоскости. Преобразования системы координат. Деление отрезка в данном отношении. Уравнения линий на плоскости.

!WAIT

36. Уравнение прямой на плоскости, все виды и переход от одного к другому. Основные задачи.

!WAIT

37. Эллипс. Вывод канонического уравнения и его свойства.

!WAIT

38. Гипербола. Вывод канонического уравнения и ее свойства.

!WAIT

39. Парабола. Вывод канонического уравнения и ее свойства.

!WAIT

40. Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду.

!WAIT

41. Плоскость в пространстве, все виды уравнений и переход от одного к другому.

!WAIT

42. Плоскость в пространстве. Основные задачи.

!WAIT

43. Прямая в пространстве, все виды уравнений и переход от одного к другому. Основные задачи.

!WAIT

44. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.

!WAIT

45. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Метод сечений.

!WAIT